Teorema de Tales
Tales de Mileto.
Existen dos teoremas en
relación a la geometría
clásica que reciben el nombre de teorema de Tales, ambos
atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo
VI a. C.
Los dos teoremas de
Tales
Semicírculo que ilustra un
teorema de Tales.
El primero de ellos explica
esencialmente una forma de construir un triángulo
semejante a uno previamente existente ("los triángulos
semejantes son los que tienen iguales ángulos y sus lados homólogos
proporcionales"). Mientras que el segundo desentraña una propiedad
esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos
("encontrándose éstos en el punto medio de su hipotenusa"), que a su
vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer
condiciones de construcción de ángulos rectos. Si tres o más rectas paralelas
son intersecadas cada una por dos transversales, los segmentos de las
transversales determinados por las paralelas, son proporcionales.
Primer teorema
Una aplicación del teorema de
Tales.
Como definición previa al
enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes
si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El
primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la
geometría, al saber, que:
Teorema primero
Si en un
triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene
un triángulo que es semejante al triángulo dado.
|
Según parece, Tales descubrió
el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas.
De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de
los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de
paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su
fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos,
a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.
Corolario
Del establecimiento de la
existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la
necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre
la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.
Por ejemplo, en la figura se
observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes.
Entonces, del mismo se deduce a modo de corolario que el cociente entre los
lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D
y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos
triángulos son semejantes, se cumple que:
Este corolario es la base de
la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; según Heródoto, el propio Tales
empleó el corolario de su teorema para medir la altura de la pirámide
de Keops en Egipto.
En cualquier caso, el teorema demuestra la semejanza entre dos triángulos, no
la constancia del cociente.
Del primer teorema de Tales se
deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a
su vez, consecuencia del mismo): Si las rectas A, B, C son paralelas y
cortan a otras dos rectas R y S, entonces los segmentos que determinan en ellas
son proporcionales.
Segundo teorema
fig 2.1 Ilustración del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto.
El segundo teorema de Tales de
Mileto es un teorema de geometría
particularmente enfocado a los triángulos
rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos,
consiste en el siguiente enunciado:
Teorema segundo
Sea B un
punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C.
Entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo.
|
Este teorema (véase fig
2.1 y 2.2), es un caso particular de una propiedad de los
puntos
cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos
dentro de una circunferencia.
Demostración
fig 2.3 Los triángulos AOB y BOC son isósceles.
En la circunferencia de centro
O y radio r (véase fig 2.3), los segmentos
OA , OB y OC
son iguales por ser todos
radios de la misma circunferencia.
Por lo tanto los triángulos AOB
y BOC son isósceles.
La suma de los ángulos del
triángulo ABC es:
Dividiendo ambos miembros de
la ecuación anterior por dos, se obtiene:
Con la expresión anterior el
segundo teorema queda demostrado.
Corolarios
(Corolario 1) En todo
triángulo rectángulo la longitud de la mediana correspondiente a la
hipotenusa es siempre ½ de la hipotenusa.”
|
Ya que aplicando el teorema
anterior, se sabe que para cualquier posición que adopte el vértice B
vale la igualdad, OA = OB = OC = r,
donde OB es la mediana de la hipotenusa, (véase fig 2.3).
(Corolario 2) “La
circunferencia circunscripta a todo triángulo rectángulo siempre tiene radio
igual a ½ de la hipotenusa y su circuncentro se ubicará en el punto medio de
la misma.”
|
El corolario 2 también surge
de aplicar el teorema anterior, para una comprensión intuitiva basta observar
la
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